미적분 예제

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 3 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 3 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $3 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$3 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.1.3

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.2

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ 을 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 \cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ 에서 $3 \cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

단계 2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$3 \sin (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

단계 2.2.2.2

$3 (\sin (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

단계 2.2.2.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

단계 3

$\frac{1}{9}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 을 $\csc^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

단계 4.2

$d$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

단계 4.3

$x$ 와 $\frac{d}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

단계 5

$- \cot (t)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (t)$ 이므로, $\csc^{2} (t)$ 의 적분값은 $- \cot (t)$ 이 됩니다.

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ 을 $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\frac{1}{9}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

단계 6.2.2

$\frac{x}{9}$ 와 $d$ 을 묶습니다.

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

단계 6.2.3

$\frac{x d}{9}$ 와 $\cot (t)$ 을 묶습니다.

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

단계 7

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 로 바꿉니다.

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ 는 $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ 입니다.

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

단계 8.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{3}$ 입니다.

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.9

$\frac{3 + x}{3}$ 에 $\frac{3 - x}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.11

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.11.1

$(3 + x) (3 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.11.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.11.3

분수 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.12

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.13

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.14

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.14.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

단계 8.14.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

단계 8.15

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

단계 8.16

지수를 묶습니다.

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단계 8.16.1

$x$ 와 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

단계 8.16.2

$d$ 와 $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

단계 8.17

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

단계 8.18

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 8.18.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 8.18.1.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

단계 8.18.1.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

단계 8.18.2

$d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$