미적분 예제

$\int \tan^{3} (3 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 2

$\tan^{3} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{3} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$\tan^{2} (u_{1})$ 로 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (u_{1})$ 를 $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

단계 9

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

단계 10

먼저 $u_{2} = \sec (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u_{2} = \sec (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$\sec (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

단계 10.1.2

$\sec (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 입니다.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

단계 10.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

단계 13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 13.1

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

단계 13.2

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

단계 13.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (3 x)) + C$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sec^{2} (3 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{\sec^{2} (3 x)}{2}) + C$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

단계 14.3

$\frac{1}{3}$ 와 $\ln (| \sec (3 x) |)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

단계 14.4

조합합니다.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1 \sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

단계 14.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.5.1

$\sec^{2} (3 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

단계 14.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{3} \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$