미적분 예제

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

단계 1

$\cos^{4} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

단계 2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

단계 2.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 를 $1 - \sin^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

단계 4

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

단계 5

$u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ 을 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.8

$u^{7}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.9

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.10

$u^{7}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.11

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.12

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.13

$u^{7}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.14

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

단계 5.15

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

단계 5.16

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

단계 5.17

$u^{7}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.18

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.19

$u^{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.20

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.21

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.23

$7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.24

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.25

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.26

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.27

$7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.28

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.29

$u^{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.30

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

단계 5.31

$7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

단계 5.32

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

단계 5.33

$9$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

단계 5.34

$- u^{9}$ 에서 $u^{9}$ 을 뺍니다.

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

단계 5.35

$- 2 u^{9}$ 와 $u^{11}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

단계 5.36

$u^{7}$ 를 옮깁니다.

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{11}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{12} u^{12}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

단계 8

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{9}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{10} u^{10}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{10}$ 와 $u^{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

단계 11.2

간단히 합니다.

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$