미적분 예제

$\int \sqrt{16 - 9 x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{4}{3} \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{4 \cos (t)}{3} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{4 \cos (t)}{3}$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{4}{3}$ 와 $\sin (t)$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4 \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{4 \sin (t)}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.2.2

$4 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{4^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.5

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.5.1

$- 9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{16 + 9 (- 1) \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$\int \sqrt{16 + 9 \cdot - 1 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \sqrt{16 - 1 (16 \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.6

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.2

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.3

$- 16 \sin^{2} (t)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.4

$16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{16 \cos^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ 을 ${(4 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int 4 \cos (t) \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{4 \cos (t)}{3}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\int \frac{4 \cos (t) \cdot 4}{3} \cos (t) d t$

단계 2.2.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\int \frac{16 \cos (t)}{3} \cos (t) d t$

단계 2.2.3

$\frac{16 \cos (t)}{3}$ 와 $\cos (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{16 \cos (t) \cos (t)}{3} d t$

단계 2.2.4

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} d t$

단계 2.2.5

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} d t$

단계 2.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{16 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} d t$

단계 2.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{16 \cos^{2} (t)}{3} d t$

단계 3

$\frac{16}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{16}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{16}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{16}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{16}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.3

$16$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (8)}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{8}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

단계 9

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 9.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

단계 12

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{8}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ 로 바꿉니다.

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 14.2

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 14.3

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ 로 바꿉니다.

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2}) + C$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

단계 15.3

$\frac{8}{3}$ 와 $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ 을 묶습니다.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

단계 15.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

단계 15.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

단계 15.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4})) + C$

단계 15.5

$\frac{4}{3}$ 와 $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ 을 묶습니다.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4 \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{3} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3}{4} x) + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3}{4} x)) + C$