미적분 예제

$\int \sec^{4} (x) \tan^{4} (x) d x$

단계 1

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{4} (x) d x$

단계 1.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

단계 2

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 를 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

단계 3

먼저 $u = \tan (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = \tan (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\tan (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 3.1.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x)$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (1 + u^{2}) u^{4} d u$

단계 4

$(1 + u^{2}) u^{4}$ 을 곱합니다.

$\int 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$u^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

단계 5.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{4} + u^{2 + 4} d u$

단계 5.2.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\int u^{4} + u^{6} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int u^{6} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (x) + C$