미적분 예제

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

단계 1

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- d u = \sin (x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u^{3}}$ 을(를) $u^{\frac{3}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{3}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

단계 4.3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ 을 $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 6.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 6.2.4

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 8.2

$\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$