미적분 예제

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

단계 1

$u = r^{2}$ 이고 $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

단계 2.2

$a$ 와 $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 을 묶습니다.

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

단계 2.3

$r^{2}$ 와 $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

단계 3

$- \frac{1}{2} a \cdot 2$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$a$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.3

$- 2$ 와 $\frac{a}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

$- 2 a$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.4.2.4

$- a$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

단계 4.6

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

단계 5

$u = r$ 이고 $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

단계 6.2

$a$ 와 $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

단계 6.3

$r$ 와 $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

단계 6.4

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

단계 6.5

$a$ 와 $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

단계 7

$- 1$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

단계 8.2

$\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

단계 9

$\frac{a}{2}$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $\frac{a}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

단계 10

먼저 $u = - \frac{2 r}{a}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{2}{a} d r$ 이므로 $- \frac{a}{2} d u = d r$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u = - \frac{2 r}{a}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d r}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$- \frac{2 r}{a}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

단계 10.1.2

$- \frac{2}{a}$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- \frac{2 r}{a}$ 의 미분은 $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

단계 10.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{a}$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

단계 11.2

$\frac{2}{a}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

단계 11.3

$\frac{a}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

단계 11.4

$\frac{a}{2}$ 와 $e^{u}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

단계 12

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

단계 13

$\frac{a}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{a}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{a}{2}$ 에 $\frac{a}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 14.2

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 14.3

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 14.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 14.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 14.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

단계 15

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ 을 $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

단계 16.2

간단히 합니다.

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단계 16.2.1

$r^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

단계 16.2.2

$a$ 와 $\frac{r^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

단계 16.2.3

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ 와 $\frac{a r^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

단계 16.2.4

$r$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

단계 16.2.5

$a$ 와 $\frac{r}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

단계 16.2.6

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ 와 $\frac{a r}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

단계 16.2.7

$a^{2}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

단계 16.2.8

$e^{u}$ 와 $\frac{a^{2}}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

단계 16.2.9

공통 분모를 가지는 분수로 $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 16.2.10

$a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 16.2.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 16.2.12

$a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

단계 17

$u$ 를 모두 $- \frac{2 r}{a}$ 로 바꿉니다.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$