미적분 예제

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

$12 x + 18$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$12 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

단계 1.1.2

$18$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

단계 1.1.3

$6 (2 x) + 6 (3)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$- 1, 4$

단계 1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

단계 2

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

단계 3

먼저 $u = (x - 1) (x + 4)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 x + 3) d x$ 이므로 $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = (x - 1) (x + 4)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$(x - 1) (x + 4)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

단계 3.1.2

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.1.3

미분합니다.

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단계 3.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.1.3.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.1.3.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.1.3.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.1.3.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

단계 3.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

단계 3.1.3.8.2

$x + 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x - 1 + x + 4$

단계 3.1.3.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x - 1 + 4$

단계 3.1.3.8.4

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2 x + 3$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 6.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $(x - 1) (x + 4)$ 로 바꿉니다.

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$