미적분 예제

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

단계 1

$10 x^{3} - 5 x$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$10 x^{3}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

단계 1.2

$- 5 x$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

단계 1.3

$5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

단계 2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 4.2

$\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

단계 4.3

$\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

단계 7

먼저 $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

단계 7.1.2

미분합니다.

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단계 7.1.2.1

합의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

단계 7.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

단계 7.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 7.1.3.1

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- u_{1}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

단계 7.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

단계 7.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

단계 7.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1.4.1

$6$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$2 u_{1} - 1 + 0$

단계 7.1.4.2

$2 u_{1} - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 u_{1} - 1$

단계 7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

단계 8

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{2}}$ 을(를) ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

단계 8.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

단계 8.3

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

단계 8.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 9

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$\frac{5}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2.3

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.3.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2.3.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 11.1

$u_{2}$ 를 모두 ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 로 바꿉니다.

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 11.2

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$