미적분 예제

$\int \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1} d x$

단계 1

$8 x^{3} - 1$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 1.2

피제수 $8 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $8 x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

단계 1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

단계 1.7

피제수 $4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

단계 1.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

단계 1.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x^{2} - 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$

단계 1.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

단계 1.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

단계 1.12

피제수 $2 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

단계 1.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

단계 1.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

단계 1.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$
										$0$

단계 1.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$\int 4 x^{2} + 2 x + 1 d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

단계 3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int d x$

단계 5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

단계 8.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

$\frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + x + C$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4}{3} x^{3} + x^{2} + x + C$