미적분 예제

$\int \frac{5 x + 1}{(2 x + 1) (x - 1)} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{2 x + 1}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

단계 1.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(2 x + 1) (x - 1)$ 입니다.

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.4

$2 x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.5.2

$5 x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x + 1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$2 x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$5 x + 1 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.6.1.2

$(A) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$5 x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.6.4

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.6.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.5.1

공약수로 약분합니다.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.1.6.5.2

$(B) (2 x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x + 1 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

단계 1.1.6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x + 1 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

단계 1.1.6.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

단계 1.1.6.8

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B$

단계 1.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$B$ 를 옮깁니다.

$5 x + 1 = A x - A + 2 x B + B$

단계 1.1.7.2

$- A$ 를 옮깁니다.

$5 x + 1 = A x + 2 x B - A + B$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$5 = A + 2 B$

단계 1.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = - 1 A + B$

단계 1.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$5 = A + 2 B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$A + 2 B = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + 2 B = 5$

$1 = - 1 A + B$

단계 1.3.1.2

방정식의 양변에서 $2 B$ 를 뺍니다.

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

단계 1.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $5 - 2 B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ 의 $A$ 를 모두 $5 - 2 B$ 로 바꿉니다.

$1 = - 1 (5 - 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$- 1 (5 - 2 B) + B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = - 1 \cdot 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.2.2.1.1.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$1 = - 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.2.2.1.1.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.2.2.1.2

$2 B$ 를 $B$ 에 더합니다.

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.3

$1 = - 5 + 3 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 5 + 3 B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 5 + 3 B = 1$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$3 B = 1 + 5$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.3.2.2

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.3.3

$3 B = 6$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.1

$3 B = 6$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.3.3.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.3.1

$6$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

단계 1.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$A = 5 - 2 B$ 의 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

단계 1.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$5 - 2 \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A = 5 - 4$

$B = 2$

단계 1.3.4.2.1.2

$5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

단계 1.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = 1, B = 2$

단계 1.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

단계 1.5

수식에서 0을 제거합니다.

$\int \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 3.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{u_{1}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 4.2

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 7

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

단계 8

먼저 $u_{2} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{2} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 8.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 8.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

단계 11.2

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$