미적분 예제

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 4 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 4 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $4 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$4 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.2

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.3

$- 16 \sin^{2} (t)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.4

$16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ 을 ${(4 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 \cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\int {(4 \sin (t))}^{3} d t$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$4 \sin (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int {(4 (\sin (t)))}^{3} d t$

단계 2.2.2.2

$4 (\sin (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int 4^{3} \sin^{3} (t) d t$

단계 2.2.2.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int 64 \sin^{3} (t) d t$

단계 3

$64$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $64$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$64 \int \sin^{3} (t) d t$

단계 4

$\sin^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$64 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (t)$ 를 $1 - \cos^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$64 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

단계 6

먼저 $u = \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 6.1.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$- \sin (t)$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$64 \int - 1 + u^{2} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$64 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$64 (- u + C + \int u^{2} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$64 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$64 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

단계 10.2

간단히 합니다.

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 11.1

$u$ 를 모두 $\cos (t)$ 로 바꿉니다.

$64 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

단계 11.2

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 로 바꿉니다.

$64 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{4})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arcsin (\frac{x}{4}))$ 는 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ 입니다.

$64 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$64 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{4}$ 입니다.

$64 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$64 (- \sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.8

$\frac{4 + x}{4}$ 에 $\frac{4 - x}{4}$ 을 곱합니다.

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.9

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.10

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ 을 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.10.1

$(4 + x) (4 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.10.2

$16$ 에서 완전제곱인 $4^{2}$ 인수를 묶습니다.

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.10.3

분수 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$64 (- \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$64 (- (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.1.12

$\frac{1}{4}$ 와 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 을 묶습니다.

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

단계 12.2

$\frac{1}{3}$ 와 $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))$ 을 묶습니다.

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3}) + C$

단계 12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

단계 12.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$64 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

단계 12.4.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (16) \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

단계 12.4.3

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot 16 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

단계 12.4.4

수식을 다시 씁니다.

$16 (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

단계 12.5

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

단계 12.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{4}$ 입니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.8

$\frac{4 + x}{4}$ 에 $\frac{4 - x}{4}$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.9

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.10

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ 을 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.10.1

$(4 + x) (4 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.10.2

$16$ 에서 완전제곱인 $4^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.10.3

분수 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.12

$\frac{1}{4}$ 와 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 을 묶습니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4})}^{3}}{3} + C$

단계 12.6.13

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.14.1

${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}$ 을 $\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.2

$(4 + x) (4 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.3

${(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}$ 을 ${((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.14.3.1

${(4 + x)}^{2}$ 로 인수분해합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.3.2

${(4 - x)}^{2}$ 로 인수분해합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) ({(4 - x)}^{2} (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.3.3

$4 + x$ 를 옮깁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.3.4

${(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}$ 을 ${((4 + x) (4 - x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.3.5

괄호를 표시합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 + x) (4 - x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 + x) (4 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.14.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 (4 - x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.14.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.14.6.1.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.14.6.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6.2

$- 4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 0 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.6.3

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.7

분배 법칙을 적용합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.8

$16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.6.14.8.1

$16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.8.2

$- x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.8.3

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (16 - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.9

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4^{2} - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.14.10

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 4$ 이고 $b = x$ 입니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{4^{3}}}{3} + C$

단계 12.6.15

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}}{3} + C$

단계 12.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.7.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 (\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}) + C$

단계 12.7.2

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 12.7.2.1

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

단계 12.7.2.2

$64$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{192} + C$

단계 12.7.3

$64$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.7.3.1

$192$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 (3)} + C$

단계 12.7.3.2

공약수로 약분합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

단계 12.7.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

단계 12.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

단계 12.9

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

단계 12.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

단계 12.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.11.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.11.1.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

단계 12.11.1.2

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))}{3} + C$

단계 12.11.1.3

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))$ 에서 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

단계 12.11.2

$- 16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

단계 12.11.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 + x) (4 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 12.11.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 (4 - x) + x (4 - x))}{3} + C$

단계 12.11.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}{3} + C$

단계 12.11.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

단계 12.11.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 12.11.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.11.4.1.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

단계 12.11.4.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

단계 12.11.4.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}{3} + C$

단계 12.11.4.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}{3} + C$

단계 12.11.4.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 12.11.4.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}{3} + C$

단계 12.11.4.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x^{2})}{3} + C$

단계 12.11.4.2

$- 4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 0 - x^{2})}{3} + C$

단계 12.11.4.3

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - x^{2})}{3} + C$

단계 12.11.5

$- 48$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 32 - x^{2})}{3} + C$

단계 12.12

$- 32$ 을 $- 1 (32)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - x^{2})}{3} + C$

단계 12.13

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - (x^{2}))}{3} + C$

단계 12.14

$- 1 (32) - (x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32 + x^{2}))}{3} + C$

단계 12.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (32 + x^{2})}{3} + C$