미적분 예제

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{3 \sec (t)}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.2.2

$3 \sec (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.2

$9 \sec^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.3

$- 9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.4

$9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.6

$9 \tan^{2} (t)$ 을 ${(3 \tan (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.2

$\frac{3 \sec (t)}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.3

$\frac{2}{3 \sec (t)}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.5

$\frac{6}{3 \sec (t)}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.6

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$6 \tan (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.1

$3 \sec (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 2.2.7

$\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ 에 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.8

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.9

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.10

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.13

$\sec (t)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

단계 2.2.14

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.14.1

$6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

단계 2.2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.14.2.1

$2 \sec (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

단계 2.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

단계 2.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

단계 2.2.15

$\sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.15.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

단계 2.2.15.2

$3 \tan^{2} (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

단계 3

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

단계 7

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

단계 8

간단히 합니다.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

단계 9

$t$ 를 모두 $arcsec (\frac{2 x}{3})$ 로 바꿉니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

평면에 $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $arcsec (\frac{2 x}{3})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ 는 $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ 입니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

단계 10.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

단계 10.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{2 x}{3}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

단계 10.1.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

단계 10.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

단계 10.1.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

단계 10.1.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

단계 10.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

단계 10.1.9

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

단계 10.1.10

$\frac{2 x + 3}{3}$ 에 $\frac{2 x - 3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

단계 10.1.11

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

단계 10.1.12

$\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.12.1

$(2 x + 3) (2 x - 3)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

단계 10.1.12.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

단계 10.1.12.3

분수 $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

단계 10.1.13

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

단계 10.1.14

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ 을 묶습니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

단계 10.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

단계 10.3

$- arcsec (\frac{2 x}{3})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

단계 10.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

단계 10.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

단계 10.5.2

수식을 다시 씁니다.

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

단계 10.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$