미적분 예제

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{2 \sec (t)}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.2.2

$2 \sec (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.5

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.3

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.4

$4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ 을 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{2 \tan (t)}$ 에 $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

단계 2.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

단계 2.2.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$2 \sec (t) \tan (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

단계 2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$6 \tan (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

단계 2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

단계 2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

단계 2.2.4

$\tan (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

단계 2.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

단계 4

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

단계 5

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

단계 6

$t$ 를 모두 $arcsec (\frac{3 x}{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

단계 7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$