미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

단계 2.1.2

${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

단계 2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

단계 2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

단계 2.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

단계 2.3.4.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ 입니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ 을 ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$

단계 3.1.2.2

${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

단계 3.1.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 3}$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 3.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = - 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

단계 3.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

단계 3.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

단계 3.3.5.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = 6 (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

단계 3.4.2

$6$ 와 $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ 을 ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{4})}^{- 1})$

단계 4.1.2.2

${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

단계 4.1.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 4})$

단계 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 4.2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

단계 4.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

단계 4.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

단계 4.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

단계 4.3.5.2

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = - 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$

단계 4.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$- 24$ 와 $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 24}{{(x + 1)}^{5}}$

단계 4.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$ 입니다.

$- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$