미적분 예제

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ 을 $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1.1

$x^{5}$ 을 ${(x^{2})}^{2} x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1.1.1

$x^{4}$ 로 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

단계 1.1.1.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

단계 1.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

단계 1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

단계 1.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

단계 1.3.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

단계 1.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

단계 1.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

단계 1.3.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

단계 1.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{\frac{5}{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 입니다.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

단계 1.5

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

단계 1.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

단계 1.9.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

단계 1.10

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

단계 1.11

$5$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

단계 1.12

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{25}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 의 미분은 $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

단계 2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 2.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.8

$\frac{25}{2}$ 에 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

단계 2.9

곱합니다.

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단계 2.9.1

$3$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 2.9.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{75}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 의 미분은 $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.9

$\frac{75}{4}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

단계 3.10

곱합니다.

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단계 3.10.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

단계 3.10.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{75}{8}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

단계 4.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

단계 4.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

단계 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 4.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

단계 4.3

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

단계 4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 4.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

단계 4.7.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

단계 4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

단계 4.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 4.10

$\frac{75}{8}$ 에 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

단계 4.11

곱합니다.

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단계 4.11.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

단계 4.11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$