미적분 예제

$y = e^{x^{2}} + 11 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $e^{x^{2}} + 11 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

단계 1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} (11 x)$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [11 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $11 x$ 의 미분은 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \cdot 1$

단계 1.3.3

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 e^{x^{2}} x + 11$

단계 1.4.2

$2 e^{x^{2}} x + 11$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x e^{x^{2}} + 11$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x e^{x^{2}} + 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x e^{x^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.10

$e^{x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.2.11

$e^{x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.3

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

단계 2.4.2.2

$4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$

단계 2.4.4

$4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2} e^{x^{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ 입니다.

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.6.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.6.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.2.7

$e^{x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{x^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 입니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2}})$

단계 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 3.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

단계 3.3.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

단계 3.4.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x$

단계 3.4.2.3

$8 e^{x^{2}} x$ 를 $4 e^{x^{2}} x$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x$

단계 3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$

단계 3.4.4

$8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3} e^{x^{2}}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.6

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.6.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{1 + 3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.6.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.2.7

$e^{x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x e^{x^{2}}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}})$

단계 4.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 4.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 4.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 4.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 4.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 4.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

단계 4.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

단계 4.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

단계 4.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

단계 4.3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

단계 4.3.10

$e^{x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

단계 4.3.11

$e^{x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

단계 4.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

단계 4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

단계 4.4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.4.3.1

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 16 (x^{4} (e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

단계 4.4.3.2

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 (e^{x^{2}} (x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

단계 4.4.3.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 e^{x^{2}} x^{2} + 24 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

단계 4.4.3.4

$24 e^{x^{2}} x^{2}$ 를 $24 x^{2} e^{x^{2}}$ 에 더합니다.

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단계 4.4.3.4.1

$e^{x^{2}}$ 를 옮깁니다.

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

단계 4.4.3.4.2

$24 x^{2} e^{x^{2}}$ 를 $24 x^{2} e^{x^{2}}$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

단계 4.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = 16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$

단계 4.4.5

$16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$