미적분 예제

$y = 4 x - \ln (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 x - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$4 - \frac{1}{x}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{x} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.6

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.7

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.2.8

$x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$x^{- 2} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

단계 2.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

단계 3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

단계 3.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{- 3}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

단계 3.3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.3.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

단계 3.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{x^{3}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 4.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 4.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

단계 4.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 4.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (- 3 x^{- 4})$

단계 4.4

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$6 x^{- 4}$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$6 \frac{1}{x^{4}}$

단계 4.5.2

$6$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{6}{x^{4}}$