미적분 예제

$y = \frac{x + 2}{x - 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x + 2$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.4.2

$x - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.5

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$x - 3 - x - 1 \cdot 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{0 - 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2.1.2

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{- 3 - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2.3

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 을 ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

단계 2.1.2.2

${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 5 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 2.3.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

단계 2.3.5.2

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

단계 2.4.2

$10$ 와 $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}]$ 입니다.

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ 을 ${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({({(x - 3)}^{3})}^{- 1})$

단계 3.1.2.2

${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3 \cdot - 1})$

단계 3.1.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{- 3})$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 3.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 10 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 10 (- 3 {(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 30 ({(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 3.3.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + 0)$

단계 3.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} \cdot 1$

단계 3.3.5.2

$- 30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = - 30 \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 30$ 와 $\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{- 30}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$ 의 미분은 $- 30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ 을 ${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$

단계 4.1.2.2

${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{4 \cdot - 1}$

단계 4.1.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 4}$

단계 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = - 30 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 4.2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 {(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 4$ 에 $- 30$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 120 ({(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 4.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 4.3.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + 0)$

단계 4.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} \cdot 1$

단계 4.3.5.2

$120$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = 120 (\frac{1}{{(x - 3)}^{5}})$

단계 4.4.2

$120$ 와 $\frac{1}{{(x - 3)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(x - 3)}^{5}}$