미적분 예제

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

단계 1.2.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

단계 1.2.6.2

$\frac{1}{3 x - 1}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{3 x - 1}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

단계 2.1.2

$\frac{1}{3 x - 1}$ 을 ${(3 x - 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

단계 2.3.7.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$- 9$ 와 $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ 입니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ 을 ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

단계 3.1.2.2

${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 3.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 3.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.3.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

단계 3.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

단계 3.3.7.2

$3$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

단계 3.4.2

$54$ 와 $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$54$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ 의 미분은 $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ 입니다.

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ 을 ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

단계 4.1.2.2

${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 4.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 3$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

단계 4.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

단계 4.3.7.2

$3$ 에 $- 162$ 을 곱합니다.

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

단계 4.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$- 486$ 와 $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

단계 4.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ 입니다.

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$