미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = 2 - 11 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.2

$2 - 11 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $2 - 11 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ 가 됩니다.

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.6

$- 11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 11 x$ 의 미분은 $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.7

$- 11$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.9

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.9.2

$- 11 x$ 를 $11 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.9.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.3.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

단계 1.2.9.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ 을 ${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 2}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = - 11 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 11 x + 2$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $- 11 x + 2$ 로 바꿉니다.

$2 (- 2 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 ({(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $- 11 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 2.3.3

$- 11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 11 x$ 의 미분은 $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 2.3.5

$- 11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 2.3.6

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + 0)$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$- 11$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \cdot - 11$

단계 2.3.7.2

$- 11$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$44 {(- 11 x + 2)}^{- 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$44 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

단계 2.4.2

$44$ 와 $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$44$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ 의 미분은 $44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$ 입니다.

$44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ 을 ${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$44 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}]$

단계 3.1.2.2

${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{3 \cdot - 1}]$

단계 3.1.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 3}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = - 11 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 11 x + 2$ 로 바꿉니다.

$44 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 3.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$44 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $- 11 x + 2$ 로 바꿉니다.

$44 (- 3 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 3$ 에 $44$ 을 곱합니다.

$- 132 ({(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $- 11 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.3.3

$- 11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 11 x$ 의 미분은 $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.3.5

$- 11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.3.6

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + 0)$

단계 3.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$- 11$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \cdot - 11$

단계 3.3.7.2

$- 11$ 에 $- 132$ 을 곱합니다.

$1452 {(- 11 x + 2)}^{- 4}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1452 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

단계 3.4.2

$1452$ 와 $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$1452$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ 의 미분은 $1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$ 입니다.

$1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ 을 ${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$1452 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}]$

단계 4.1.2.2

${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{4 \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 4}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = - 11 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 11 x + 2$ 로 바꿉니다.

$1452 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 4.2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1452 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $- 11 x + 2$ 로 바꿉니다.

$1452 (- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 4$ 에 $1452$ 을 곱합니다.

$- 5808 ({(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $- 11 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 4.3.3

$- 11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 11 x$ 의 미분은 $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 4.3.5

$- 11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 4.3.6

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + 0)$

단계 4.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$- 11$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \cdot - 11$

단계 4.3.7.2

$- 11$ 에 $- 5808$ 을 곱합니다.

$63888 {(- 11 x + 2)}^{- 5}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$63888 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

단계 4.4.2

$63888$ 와 $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ 입니다.

$\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$