미적분 예제

$f (x) = \frac{\ln (x)}{11 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{1}{11}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{\ln (x)}{11 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x})$

단계 1.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.4.4

분수를 통분합니다.

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단계 1.4.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 1.4.4.2

$\frac{1}{11}$ 에 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{1}{11}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

단계 2.2

$f (x) = 1 - \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $1 - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

단계 2.5.4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

단계 2.5.4.2

$- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

단계 2.5.4.2.2

$- 2 (1 - \ln (x)) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

단계 2.5.4.2.3

$x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

단계 2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

단계 2.7

$\frac{1}{11}$ 에 $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{11 x^{3}}$

단계 2.8

간단히 합니다.

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단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

단계 2.8.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.8.2.1.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

단계 2.8.2.1.2

$- 2 (- \ln (x))$ 을 곱합니다.

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단계 2.8.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{11 x^{3}}$

단계 2.8.2.1.2.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

단계 2.8.2.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

단계 2.8.3

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

단계 2.8.4

$\ln (x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

단계 2.8.5

$- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

단계 2.8.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{11}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ 입니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 3.2

$f (x) = 3 - \ln (x^{2})$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

단계 3.3.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $3 - \ln (x^{2})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 에 더합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x^{2})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 입니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.4.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5.2

$x^{3}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5.2.2.4

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.5.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

단계 3.10

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

단계 3.11

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

단계 3.11.2

$- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

단계 3.11.2.2

$- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

단계 3.11.2.3

$x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

단계 3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

단계 3.13

$\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ 에 $\frac{1}{11}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 11}$

단계 3.14

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $11$ 이동하기

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{11 \cdot x^{4}}$

단계 3.15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

단계 3.15.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.15.2.1.1

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

단계 3.15.2.1.2

$- 3 (- \ln (x^{2}))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.15.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{11 x^{4}}$

단계 3.15.2.1.2.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (x^{2})$ 을 간단히 합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{11 x^{4}}$

단계 3.15.2.1.3

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.15.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{11 x^{4}}$

단계 3.15.2.1.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

단계 3.15.2.2

$- 2$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = - \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

단계 3.15.3

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

단계 3.15.4

$\ln (x^{6})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

단계 3.15.5

$- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

단계 3.15.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

단계 3.15.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 1 (\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}})$

단계 3.15.8

$\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{11}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ 의 미분은 $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}})$

단계 4.2

$f (x) = 11 - \ln (x^{6})$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

${(x^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

단계 4.3.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $11 - \ln (x^{6})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (11) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.3.3

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x^{6})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ 입니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{6}$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.4.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.4.3

$u$ 를 모두 $x^{6}$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$x^{4}$ 와 $\frac{1}{x^{6}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.2

$x^{4}$ 및 $x^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1

$x^{6}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.3

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.1

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4.2

$- 6$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4.3

$\frac{- 6}{x^{2}}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4.4

$x^{5}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.4.1

$- 6 x^{5}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.4.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.4.4.2.4

$- 6 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

단계 4.5.5

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

단계 4.5.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.6.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

단계 4.5.6.2

$\frac{1}{11}$ 에 $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot (11 x^{3}) - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.1.1

$- 4$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.3.1.2

$- 4 (- \ln (x^{6}))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.1.2.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.3.1.2.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (x^{6})$ 을 간단히 합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.3.1.3

${(x^{6})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.3.1.3.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.3.2

$- 6 x^{3}$ 에서 $44 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

단계 4.6.3.3

$- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

단계 4.6.4

$- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.4.1

$- 50 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

단계 4.6.4.2

$x^{3} \ln (x^{24})$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

단계 4.6.4.3

$x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

단계 4.6.5

$24$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{24})$ 을 전개합니다.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{11 x^{8}}$

단계 4.6.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.6.1

$11 x^{8}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

단계 4.6.6.2

공약수로 약분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

단계 4.6.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 50 + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

단계 4.6.7

$- 50 + 24 \ln (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.7.1

$- 50$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

단계 4.6.7.2

$24 \ln (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

단계 4.6.7.3

$2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

단계 4.6.8

$- 25$ 을 $- 1 (25)$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

단계 4.6.9

$12 \ln (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 - (- 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

단계 4.6.10

$- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 (25 - 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

단계 4.6.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$ 입니다.

$- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$