미적분 예제

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

단계 1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x \ln (x) + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \ln (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.5

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.7

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

단계 2.4.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 \ln (x) + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \ln (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 3.2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 3.2.3

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

단계 3.3.2

$\frac{2}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

단계 4.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

단계 4.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

단계 4.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

단계 4.5.2

항을 묶습니다.

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단계 4.5.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

단계 4.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{2}{x^{2}}$ 입니다.

$- \frac{2}{x^{2}}$