미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} \cos (6 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2} \cos (6 x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$

단계 1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (6 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$2 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \cdot 1) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.4

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x))$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

단계 1.5.2

항을 묶습니다.

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단계 1.5.2.1

$- 6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 12 (x^{2} (\sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

단계 1.5.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 \cos (6 x) x$

단계 1.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2} \sin (6 x)$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ 입니다.

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (6 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 12 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$- 12 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.7

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.2.8

$\cos (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x \cos (6 x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ 입니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (6 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

단계 2.3.7

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1)$

단계 2.3.8

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

단계 2.3.9

$\cos (6 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

단계 2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$6$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (\cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

단계 2.4.3.2

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 (\sin (6 x) (x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

단계 2.4.3.3

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 \sin (6 x) x - 24 (x (\sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

단계 2.4.3.4

$- 24 \sin (6 x) x$ 에서 $24 x \sin (6 x)$ 을 뺍니다.

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단계 2.4.3.4.1

$\sin (6 x)$ 를 옮깁니다.

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 x \sin (6 x) - 24 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

단계 2.4.3.4.2

$- 24 x \sin (6 x)$ 에서 $24 x \sin (6 x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$- 72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 72 x^{2} \cos (6 x)$ 의 미분은 $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ 입니다.

$- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.2

$- 72 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 72 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.7

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.2.8

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x \sin (6 x)$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)]$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (6 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.3.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.7

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.8

$\cos (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cdot \cos (6 x)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.3.9

$\sin (6 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \cos (6 x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

단계 3.4.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 3.4.2.2

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{3})$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 3.4.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 3.4.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))$

단계 3.4.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \cdot 6)$

단계 3.4.6

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- 6 \sin (6 x))$

단계 3.4.7

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$- 6$ 에 $- 72$ 을 곱합니다.

$432 (x^{2} (\sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5.3.2

$2$ 에 $- 72$ 을 곱합니다.

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 (\cos (6 x) (x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5.3.3

$6$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 \cos (6 x) x - 288 (x (\cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5.3.4

$- 144 \cos (6 x) x$ 에서 $288 x \cos (6 x)$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.4.1

$\cos (6 x)$ 를 옮깁니다.

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 x \cos (6 x) - 288 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5.3.4.2

$- 144 x \cos (6 x)$ 에서 $288 x \cos (6 x)$ 을 뺍니다.

$432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

단계 3.5.3.5

$- 48 \sin (6 x)$ 에서 $24 \sin (6 x)$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = 432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$432$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $432 x^{2} \sin (6 x)$ 의 미분은 $432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ 입니다.

$432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.2

$432 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$432 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$432 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.7

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.2.8

$\cos (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 432$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 432 x \cos (6 x)$ 의 미분은 $- 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ 입니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.2

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.3.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.7

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.8

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.3.9

$\cos (6 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

단계 4.4

$\frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 72 \sin (6 x)$ 의 미분은 $- 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ 입니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 4.4.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 4.4.2.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 4.4.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 4.4.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

단계 4.4.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \cdot 6)$

단계 4.4.6

$\cos (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (6 \cdot \cos (6 x))$

단계 4.4.7

$6$ 에 $- 72$ 을 곱합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.1

$6$ 에 $432$ 을 곱합니다.

$2592 (x^{2} (\cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5.3.2

$2$ 에 $432$ 을 곱합니다.

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 (\sin (6 x) (x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5.3.3

$- 6$ 에 $- 432$ 을 곱합니다.

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 \sin (6 x) x + 2592 (x (\sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5.3.4

$864 \sin (6 x) x$ 를 $2592 x \sin (6 x)$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.4.1

$\sin (6 x)$ 를 옮깁니다.

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 x \sin (6 x) + 2592 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5.3.4.2

$864 x \sin (6 x)$ 를 $2592 x \sin (6 x)$ 에 더합니다.

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

단계 4.5.3.5

$- 432 \cos (6 x)$ 에서 $432 \cos (6 x)$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = 2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$ 입니다.

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$