미적분 예제

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{7}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

단계 1.1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

단계 1.2.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + 0)$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x)$

단계 1.2.4.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$

단계 1.2.4.3

$14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$ 입니다.

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{6})$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 14 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{6}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 14 (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 14 (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 14 (x (12 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 14 (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \cdot 1)$

단계 2.10

${(x^{2} + 7)}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6})$

단계 2.11

간단히 합니다.

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단계 2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

단계 2.11.2

$12$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 168 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

단계 2.11.3

$168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5} + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.11.3.1

$168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5}$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

단계 2.11.3.2

$14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$

단계 2.11.3.3

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2} + x^{2} + 7)$

단계 2.11.4

$12 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)]$ 입니다.

$f''' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7))$

단계 3.2

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{5}$ , $g (x) = 13 x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (13 x^{2} + 7) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $13 x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (13 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.3.2

$13$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $13 x^{2}$ 의 미분은 $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.3.4

$2$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.3.5

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + 0) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.6.1

$26 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.3.6.2

${(x^{2} + 7)}^{5}$ 의 왼쪽으로 $26$ 이동하기

$f''' (x) = 14 (26 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

단계 3.4

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

단계 3.4.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

$13 x^{2} + 7$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 \cdot ((13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))$

단계 3.5.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)))$

단계 3.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} (7)))$

단계 3.5.4

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + 0))$

단계 3.5.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x))$

단계 3.5.5.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 10 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

단계 3.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

단계 3.6.3

$26$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 364 ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

단계 3.6.4

$13$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

단계 3.6.5

$10$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

단계 3.6.6

$364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.6.1

$364 {(x^{2} + 7)}^{5} x$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$

단계 3.6.6.2

$14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$

단계 3.6.6.3

$14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$ 에서 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

단계 3.6.7

$14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 26 \cdot 7 + 130 x^{2} + 70))$

단계 4.1.1.2

$26$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 182 + 130 x^{2} + 70))$

단계 4.1.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$26 x^{2}$ 를 $130 x^{2}$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 182 + 70))$

단계 4.1.2.2

$182$ 를 $70$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

단계 4.1.3

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

단계 4.2

$f (x) = x {(x^{2} + 7)}^{4}$ , $g (x) = 156 x^{2} + 252$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (156 x^{2} + 252) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합의 법칙에 의해 $156 x^{2} + 252$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [156 x^{2}] + \frac{d}{d x} [252]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (156 x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.3.2

$156$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $156 x^{2}$ 의 미분은 $156 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 (2 x) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.3.4

$2$ 에 $156$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.3.5

$252$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $252$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $252$ 입니다.

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + 0) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.3.6

$312 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 14 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 14 (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.7.2

$x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $312$ 이동하기

$f^{4} (x) = 14 (312 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 4.8

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.9

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.9.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.9.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10

미분합니다.

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단계 4.10.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.10.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (8 {(x^{2} + 7)}^{3} x) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 1))$

단계 4.16

${(x^{2} + 7)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$ 입니다.

$14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$