미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

단계 1.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 6 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} + 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x + 12 \cdot 1$

단계 3.3.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 12 x + 12$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $12 x + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

단계 4.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

단계 4.2.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + \frac{d}{d x} [12]$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$12 + 0$

단계 4.3.2

$12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 12$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $12$ 입니다.

$12$