미적분 예제

$\int (2 x + 5) {(x^{2} + 5 x)}^{7} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 x + 5) d x$ 이므로 $\frac{1}{2 x + 5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} + 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + 5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 5 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 5$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{7} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C$

단계 3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} {(x^{2} + 5 x)}^{8} + C$