미적분 예제

$\int \frac{2}{x - 4} - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = x - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = x - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.1.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 4

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 6

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

단계 7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 8

먼저 $u_{2} = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{2} = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 8.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 8.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 9.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 11.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 12

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 13

간단히 합니다.

$2 \ln (| u_{1} |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{1}$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 14.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$