미적분 예제

$\int e^{8 x} + e^{- 9 x} d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int e^{8 x} d x + \int e^{- 9 x} d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = 8 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 8 d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = 8 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$8 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.1.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \cdot 1$

단계 2.1.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

단계 3

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

단계 4

$\frac{1}{8}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

단계 5

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- 9 x} d x$

단계 6

먼저 $u_{2} = - 9 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 9 d x$ 이므로 $- \frac{1}{9} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = - 9 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- 9 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 6.1.2

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 9 \cdot 1$

단계 6.1.4

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 9$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 9} d u_{2}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{9}) d u_{2}$

단계 7.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

단계 9

$\frac{1}{9}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - (\frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 10

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{8} e^{u_{1}} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

단계 12

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$u_{1}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

단계 12.2

$u_{2}$ 를 모두 $- 9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{- 9 x} + C$