미적분 예제

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

단계 1

$u = x - 1$ 이고 $d v = \sin (π x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

단계 2

$- \frac{1}{π}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\cos (π x)$ 와 $\frac{1}{π}$ 을 묶습니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

단계 3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

단계 3.3

$\frac{1}{π}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

단계 4

먼저 $u = π x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = π d x$ 이므로 $\frac{1}{π} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = π x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$π x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [π x]$

단계 4.1.2

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$π \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$π \cdot 1$

단계 4.1.4

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

단계 5

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{π}$ 을 묶습니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

단계 6

$\frac{1}{π}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{π}$ 에 $\frac{1}{π}$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

단계 7.2

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

단계 7.3

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

단계 7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

단계 7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

단계 8

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ 을 $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

단계 9.2

$\frac{\cos (π x)}{π}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{\cos (π x) x}{π}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

단계 11.2

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$