미적분 예제

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$

단계 1

먼저 $u = e^{x} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = e^{x} d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = e^{x} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$e^{x} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{x} + 0$

단계 1.1.4.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 4

$u$ 를 모두 $e^{x} + 1$ 로 바꿉니다.

$2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$