미적분 예제

$\int \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - e^{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - e^{x} d x$ 이므로 $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - e^{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - e^{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 1.1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - e^{x}$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$- e^{x}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u} d u$

단계 2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{u} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C)$

단계 5

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $1 - e^{x}$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| 1 - e^{x} |) + C$