미적분 예제

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ 을 $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ 를 전개합니다.

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단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$\csc (x) \csc (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1.1.1

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.1.2

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.2

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 1.3.1.2.1

$\csc (x)$ 와 $- \tan (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.2.2

괄호를 표시합니다.

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.2.3

$\csc (x) (- \tan (x))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.4

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 1.3.1.4.1

괄호를 표시합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.4.2

$- \tan (x) \csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

단계 1.3.1.6

$- \tan (x) (- \tan (x))$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.6.2

$\tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.6.3

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.6.4

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

단계 1.3.1.6.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

단계 1.3.1.6.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

단계 1.3.2

$- \sec (x)$ 에서 $\sec (x)$ 을 뺍니다.

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

단계 3

$- \cot (x)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (x)$ 이므로, $\csc^{2} (x)$ 의 적분값은 $- \cot (x)$ 이 됩니다.

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

단계 4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

단계 5

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 입니다.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

단계 9

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

단계 10

간단히 합니다.

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$