미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

단계 1.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\tan (0)}$

단계 1.3.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

단계 3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

단계 4.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

단계 4.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

단계 4.4

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

단계 5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

단계 6.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ 을 ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

단계 6.3

$\sec (0)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

단계 6.4

$\frac{1}{\cos (0)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

${(1 \cos (0))}^{2}$

단계 6.5

$\cos (0)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (0)$

단계 6.6

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1^{2}$

단계 6.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1$