미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2.1.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 1.3.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.4.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.4.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.4.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.5

$0$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0} \tan (x)$

단계 5

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\tan (lim_{x \to 0} x)$

단계 6

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\tan (0)$

단계 7

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0$