미적분 예제

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

단계 1.2

$k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

단계 1.3

$k$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

단계 1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

단계 1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

단계 1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

지수를 더하여 $k^{2}$ 에 $k$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1.1

$k^{2}$ 에 $k$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1.1.1

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

단계 1.5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

단계 1.5.1.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

단계 1.5.1.2

$k^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

단계 1.5.1.3

지수를 더하여 $k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.3.1

$k$ 를 옮깁니다.

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

단계 1.5.1.3.2

$k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

단계 1.5.1.4

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

단계 1.5.2

$2 k^{2}$ 에서 $2 k^{2}$ 을 뺍니다.

$k^{3} + 0 - 4 k$

단계 1.5.3

$k^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$k^{3} - 4 k$

단계 1.6

합을 다시 씁니다.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

단계 2

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

단계 3

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

차수가 $3$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

단계 3.2

공식에 값을 대입합니다.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$30$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

단계 3.3.1.2

$30$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

단계 3.3.1.3

$31$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

단계 3.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$900$ 에 $961$ 을 곱합니다.

$\frac{864900}{4}$

단계 3.3.2.2

$864900$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$216225$

단계 4

$4 \sum_{k = 1}^{30} k$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 4.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$30$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

단계 4.3.1.2

$30$ 에 $31$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{930}{2})$

단계 4.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

단계 4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

단계 4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \cdot 930$

단계 4.3.3

$- 2$ 에 $930$ 을 곱합니다.

$- 1860$

단계 5

합계 결과를 더합니다.

$216225 - 1860$

단계 6

$216225$ 에서 $1860$ 을 뺍니다.

$214365$