미적분 예제

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{n}$

단계 1

공식 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 을 사용하여 유한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{n}$ , $a_{n + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

단계 2.2

${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ 및 ${(\frac{1}{3})}^{n}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ 에서 ${(\frac{1}{3})}^{n}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

단계 2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

단계 2.2.2.4

$\frac{1}{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = \frac{1}{3}$

단계 3

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$n$ 의 $1$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{n}$ 에 대입합니다.

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

단계 3.2

간단히 합니다.

$a = \frac{1}{3}$

단계 4

비율, 첫 번째 항, 항의 수 값을 합 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

단계 5.1.2

조합합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

단계 5.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

단계 5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3.2

$3^{8}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.5

$3$ 를 $7$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2187}{2187}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.9

$3$ 와 $\frac{2187}{2187}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.11.1

$3$ 에 $2187$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.11.2

$6561$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

단계 5.5.2

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

단계 5.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

단계 5.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$6560$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

단계 5.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

단계 5.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

단계 5.8

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3280}{2187}$ 을 곱합니다.

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

단계 5.8.2

$3$ 에 $2187$ 을 곱합니다.

$\frac{3280}{6561}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3280}{6561}$

소수 형태:

$0.49992379 \dots$