미적분 예제

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(i - 1)}^{2}$ 을 $(i - 1) (i - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$i ((i - 1) (i - 1))$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(i - 1) (i - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$i$ 에 $i$ 을 곱합니다.

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

단계 1.3.1.2

$i$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

단계 1.3.1.3

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

단계 1.3.1.4

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

단계 1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$i (i^{2} - i - i + 1)$

단계 1.3.2

$- i$ 에서 $i$ 을 뺍니다.

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

지수를 더하여 $i$ 에 $i^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$i$ 에 $i^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1.1

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

단계 1.5.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

단계 1.5.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

단계 1.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

단계 1.5.3

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

단계 1.6

지수를 더하여 $i$ 에 $i$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$i$ 를 옮깁니다.

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

단계 1.6.2

$i$ 에 $i$ 을 곱합니다.

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

단계 1.7

합을 다시 씁니다.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

단계 2

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

단계 3

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

차수가 $3$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

단계 3.2

공식에 값을 대입합니다.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$22$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

단계 3.3.1.2

$22$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

단계 3.3.1.3

$23$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

단계 3.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$484$ 에 $529$ 을 곱합니다.

$\frac{256036}{4}$

단계 3.3.2.2

$256036$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$64009$

단계 4

$2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 4.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$22$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

단계 4.3.1.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

$22$ 에 $23$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

단계 4.3.1.2.2

$2$ 에 $22$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

단계 4.3.1.3

$44$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

단계 4.3.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$506$ 에 $45$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{22770}{6})$

단계 4.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

단계 4.3.2.2.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

단계 4.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

단계 4.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

단계 4.3.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

$22770$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 7590$

단계 4.3.2.3.2

$- 1$ 에 $7590$ 을 곱합니다.

$- 7590$

단계 5

$\sum_{i = 1}^{22} i$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 5.2

공식에 값을 대입합니다.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$22$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$22 (22 + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

단계 5.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

단계 5.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

단계 5.3.1.2.4

$11 (22 + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$11 (22 + 1)$

단계 5.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$22$ 를 $1$ 에 더합니다.

$11 \cdot 23$

단계 5.3.2.2

$11$ 에 $23$ 을 곱합니다.

$253$

단계 6

합계 결과를 더합니다.

$64009 - 7590 + 253$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$64009$ 에서 $7590$ 을 뺍니다.

$56419 + 253$

단계 7.2

$56419$ 를 $253$ 에 더합니다.

$56672$