미적분 예제

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

단계 1

$j$ 의 시작값을 $1$ 에 맞추기 위해 합을 나눕니다.

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

단계 2

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

단계 2.2

$6 \sum_{j = 1}^{30} j$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 2.2.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$30$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

단계 2.2.3.1.2

$30$ 에 $31$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{930}{2})$

단계 2.2.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3) \frac{930}{2}$

단계 2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

단계 2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 \cdot 930$

단계 2.2.3.3

$3$ 에 $930$ 을 곱합니다.

$2790$

단계 2.3

$\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

급수에서 $- \frac{4}{3}$ 인수분해합니다.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

단계 2.3.2

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 2.3.3

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$30$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

단계 2.3.4.1.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.2.1

$30$ 에 $31$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

단계 2.3.4.1.2.2

$2$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

단계 2.3.4.1.3

$60$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

단계 2.3.4.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$930$ 에 $61$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

단계 2.3.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.2.1

$- \frac{4}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

단계 2.3.4.2.2.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

단계 2.3.4.2.2.3

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

단계 2.3.4.2.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

단계 2.3.4.2.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

단계 2.3.4.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.3.1

$56730$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

단계 2.3.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

단계 2.3.4.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

단계 2.3.4.2.4

$- 2$ 와 $\frac{18910}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

단계 2.3.4.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.5.1

$- 2$ 에 $18910$ 을 곱합니다.

$\frac{- 37820}{3}$

단계 2.3.4.2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{37820}{3}$

단계 2.4

합계 결과를 더합니다.

$2790 - \frac{37820}{3}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2790$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

단계 2.5.2

$2790$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

단계 2.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

단계 2.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$2790$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8370 - 37820}{3}$

단계 2.5.4.2

$8370$ 에서 $37820$ 을 뺍니다.

$\frac{- 29450}{3}$

단계 2.5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{29450}{3}$

단계 3

$\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 $j$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

단계 3.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

단계 3.2.1.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 - \frac{4}{3}$

단계 3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

단계 3.2.3

$6$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

단계 3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

단계 3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{18 - 4}{3}$

단계 3.2.5.2

$18$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{14}{3}$

단계 4

합을 구한 값으로 바꿉니다.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

단계 5.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 29450$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$\frac{- 29464}{3}$

단계 5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{29464}{3}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{29464}{3}$

소수 형태:

$- 9821.\overline{3}$

대분수 형식:

$- 9821 \frac{1}{3}$