미적분 예제

$x^{2} e^{- x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

단계 1.4.2

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2} e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x e^{- x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 입니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1)$

단계 2.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1)$

단계 2.3.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

단계 2.3.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

단계 2.3.10

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

단계 2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

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단계 2.4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

단계 2.4.3.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

단계 2.4.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

단계 2.4.3.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x}$

단계 2.4.3.5

$- 2 e^{- x} x$ 에서 $2 x e^{- x}$ 을 뺍니다.

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단계 2.4.3.5.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

단계 2.4.3.5.2

$- 2 x e^{- x}$ 에서 $2 x e^{- x}$ 을 뺍니다.

$x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

단계 2.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$

단계 2.4.5

$e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.7

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.2.8

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x e^{- x}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 입니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.3.10

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{- x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.4.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.4.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 3.4.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 3.4.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 3.4.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- e^{- x})$

단계 3.4.8

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 2 e^{- x}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 3.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + 4 (x (e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 3.5.2.2

$e^{- x} (2 x)$ 를 $4 x e^{- x}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 x e^{- x} + 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 3.5.2.2.2

$2 x e^{- x}$ 를 $4 x e^{- x}$ 에 더합니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 3.5.2.3

$- 4 e^{- x}$ 에서 $2 e^{- x}$ 을 뺍니다.

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

단계 3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$

단계 3.5.4

$- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = - x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2} e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.2.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [6 x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x e^{- x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 입니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.3.10

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

단계 4.4

$\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 e^{- x}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 4.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.4.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.4.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 4.4.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 4.4.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 4.4.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- e^{- x})$

단계 4.4.8

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

단계 4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

단계 4.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

단계 4.5.3.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

단계 4.5.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

단계 4.5.3.4

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 6 (x (e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

단계 4.5.3.5

$- 2 e^{- x} x$ 에서 $6 x e^{- x}$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.5.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

단계 4.5.3.5.2

$- 2 x e^{- x}$ 에서 $6 x e^{- x}$ 을 뺍니다.

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

단계 4.5.3.6

$6 e^{- x}$ 를 $6 e^{- x}$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$

단계 4.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$

단계 4.5.5

$e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$