미적분 예제

$x^{\frac{8}{3}} - 4 x^{\frac{5}{3}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{8}{3}} - 4 x^{\frac{5}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$n = \frac{8}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.2.5.2

$8$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{\frac{5}{3}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 입니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.3.2

$n = \frac{5}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

단계 1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

단계 1.3.6.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.3.7

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.3.8

$- 4$ 와 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 4 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

단계 1.3.9

$5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.4

$\frac{8}{3}$ 와 $x^{\frac{5}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{8}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ 의 미분은 $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 입니다.

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{5}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.6.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.7

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.8

$\frac{8}{3}$ 에 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.9

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.2.10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{20}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 의 미분은 $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.3.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

단계 2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 2.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

단계 2.3.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 2.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

단계 2.3.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 2.3.9

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 에 $\frac{20}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} \cdot 20}{3 \cdot 3}$

단계 2.3.10

$20$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

단계 2.3.11

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

단계 2.3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{40}{9}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$ 의 미분은 $\frac{40}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$\frac{40}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{40}{9} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.9

$\frac{40}{9}$ 에 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{40 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{9 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.10

$2$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$\frac{80 x^{- \frac{1}{3}}}{9 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.11

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{80 x^{- \frac{1}{3}}}{27} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{40}{9}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $- \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

단계 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 3.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 3.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 3.3.4

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 3.3.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 3.3.5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 3.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 3.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

단계 3.3.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 3.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 3.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

단계 3.3.9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

단계 3.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

단계 3.3.11

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 3.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 3.3.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

단계 3.3.13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

단계 3.3.13.3

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

단계 3.3.13.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 3.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

단계 3.3.15

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{40}{9}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.3.16

$\frac{40}{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.3.17

$\frac{40}{9}$ 에 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

단계 3.3.18

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{80}{27}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{80}{27} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{80}{27} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{80}{27} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.4

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{80}{27} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{80}{27} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.11

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.13.3

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.13.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{80}{27} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.15

$\frac{80}{27}$ 에 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{27 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.2.16

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\frac{40}{27}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ 입니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

단계 4.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{\frac{4}{3}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

단계 4.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

단계 4.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{\frac{4}{3}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

단계 4.3.4

$n = \frac{4}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

단계 4.3.5

${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

단계 4.3.5.2

$\frac{4}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.2.1

$\frac{4}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

단계 4.3.5.2.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

단계 4.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

단계 4.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

단계 4.3.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 4.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 4.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

단계 4.3.9.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

단계 4.3.10

$\frac{4}{3}$ 와 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

단계 4.3.11

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{8}{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

단계 4.3.12

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 $x^{- \frac{8}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.12.1

$x^{- \frac{8}{3}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

단계 4.3.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

단계 4.3.12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

단계 4.3.12.4

$- 8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

단계 4.3.12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

단계 4.3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{7}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

단계 4.3.14

$\frac{40}{27}$ 에 $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{40 \cdot 4}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

단계 4.3.15

$40$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{160}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

단계 4.3.16

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{160}{81 x^{\frac{7}{3}}}$