미적분 예제

${(7 x + 3)}^{4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 7 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 x + 3]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 3]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $7 x + 3$ 로 바꿉니다.

$4 {(7 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 3]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $7 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$4 {(7 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 1.2.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 1.2.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 1.2.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 + 0)$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(7 x + 3)}^{3} \cdot 7$

단계 1.2.6.2

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 28 {(7 x + 3)}^{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$28$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $28 {(7 x + 3)}^{3}$ 의 미분은 $28 \frac{d}{d x} [{(7 x + 3)}^{3}]$ 입니다.

$28 \frac{d}{d x} [{(7 x + 3)}^{3}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 7 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x + 3$ 로 바꿉니다.

$28 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$28 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $7 x + 3$ 로 바꿉니다.

$28 (3 {(7 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$3$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$84 ({(7 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $7 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$84 {(7 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3.3

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3.5

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3.6

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 + 0)$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$84 {(7 x + 3)}^{2} \cdot 7$

단계 2.3.7.2

$7$ 에 $84$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 588 {(7 x + 3)}^{2}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${(7 x + 3)}^{2}$ 을 $(7 x + 3) (7 x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [588 ((7 x + 3) (7 x + 3))]$

단계 3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(7 x + 3) (7 x + 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (7 x (7 x + 3) + 3 (7 x + 3))]$

단계 3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (7 x (7 x) + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x + 3))]$

단계 3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (7 x (7 x) + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

단계 3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [588 (7 \cdot 7 x \cdot x + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

단계 3.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [588 (7 \cdot 7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

단계 3.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (7 \cdot 7 x^{2} + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

단계 3.3.1.3

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

단계 3.3.1.4

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 21 x + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

단계 3.3.1.5

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 21 x + 21 x + 3 \cdot 3)]$

단계 3.3.1.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 21 x + 21 x + 9)]$

단계 3.3.2

$21 x$ 를 $21 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 42 x + 9)]$

단계 3.4

$588$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $588 (49 x^{2} + 42 x + 9)$ 의 미분은 $588 \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 42 x + 9]$ 입니다.

$588 \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 42 x + 9]$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $49 x^{2} + 42 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$588 (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.6

$49$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $49 x^{2}$ 의 미분은 $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$588 (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$588 (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.8

$2$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$588 (98 x + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.9

$42$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $42 x$ 의 미분은 $42 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$588 (98 x + 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$588 (98 x + 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.11

$42$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$588 (98 x + 42 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.12

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$588 (98 x + 42 + 0)$

단계 3.13

$98 x + 42$ 를 $0$ 에 더합니다.

$588 (98 x + 42)$

단계 3.14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$588 (98 x) + 588 \cdot 42$

단계 3.14.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.14.2.1

$98$ 에 $588$ 을 곱합니다.

$57624 x + 588 \cdot 42$

단계 3.14.2.2

$588$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 57624 x + 24696$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $57624 x + 24696$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [57624 x] + \frac{d}{d x} [24696]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [57624 x] + \frac{d}{d x} [24696]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [57624 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$57624$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $57624 x$ 의 미분은 $57624 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$57624 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24696]$

단계 4.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$57624 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24696]$

단계 4.2.3

$57624$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$57624 + \frac{d}{d x} [24696]$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$24696$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $24696$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $24696$ 입니다.

$57624 + 0$

단계 4.3.2

$57624$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 57624$