미적분 예제

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

단계 2

$f (x) = 1 + x$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.5

$1 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.10

곱합니다.

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단계 3.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.10.2

$1 + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.12

항을 간단히 합니다.

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단계 3.12.1

$1 + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.12.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.12.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.12.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.12.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ 에 $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1 + x}{1 - x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

단계 4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

단계 4.2.3

$\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ 와 ${(1 - x)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

단계 4.2.4

${(1 - x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

단계 4.2.4.2

${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

${(1 - x)}^{2}$ 을 $(1 - x) (1 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

단계 4.3.4

${(1 + x)}^{2}$ 을 $(1 + x) (1 + x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

단계 4.3.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 + x)$ 를 전개합니다.

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단계 4.3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

단계 4.3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

단계 4.3.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

단계 4.3.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.6.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

단계 4.3.6.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

단계 4.3.6.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

단계 4.3.6.1.4

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

단계 4.3.6.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

단계 4.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

단계 4.3.8

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

단계 4.3.9

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

단계 4.3.10

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

단계 4.3.11

$2 x^{2} + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.11.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

단계 4.3.11.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

단계 4.3.11.3

$2 (x^{2}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$