미적분 예제

$(x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$

단계 1

$f (x) = x^{2} + y^{2}$ , $g (x) = \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 3

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 을 ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 5

$x^{2} + y^{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 7

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 10

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + 0)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 11.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 12

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 14

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + 0)$

단계 15

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

단계 16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 \frac{1}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

항을 묶습니다.

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단계 17.1.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{- 2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

단계 17.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

단계 17.1.3

$x$ 와 $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{x \cdot 2}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

단계 17.1.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2 \cdot x}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

단계 17.1.5

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ 와 $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

단계 17.1.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \frac{\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

단계 17.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

단계 17.1.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) x + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

단계 17.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 x \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) + 2 x \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$