미적분 예제

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 2.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 2.3

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 2.5

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \tan^{4} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$ 입니다.

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x))$

단계 3.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ 에서 $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$4 \sec^{4} (x) \tan (x)$ 에서 $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

단계 4.1.2

$- 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ 에서 $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$

단계 4.1.3

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$ 에서 $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

단계 4.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) \cdot 1$

단계 4.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$