미적분 예제

$y = \ln (\sqrt{x^{2} + 4})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 을(를) ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.8

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

단계 4.10

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 4.11

지수를 더하여 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.11.1

${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 4.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 4.11.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 4.11.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 4.11.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 4.12

$2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 4.13

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 4.14

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

단계 4.15

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + 0)$

단계 4.16

항을 간단히 합니다.

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단계 4.16.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x)$

단계 4.16.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 (x^{2} + 4)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)} x$

단계 4.16.3

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

단계 4.16.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.16.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

단계 4.16.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{x^{2} + 4}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{x}{x^{2} + 4}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$