미적분 예제

$y = {\sin (x)}^{\cos (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{\cos (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 을 $e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}]$

단계 3.1.2

$\cos (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\sin (x))}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \cos (x) \ln (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x) \ln (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x) \ln (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

단계 3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \ln (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.7

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.8

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} ({\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.11

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

단계 3.12

간단히 합니다.

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단계 3.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x)) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

단계 3.12.2

괄호를 제거합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

단계 3.12.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$