미적분 예제

$y = 8^{3 - x^{2}}$

단계 1

$f (x) = 8^{x}$ , $g (x) = 3 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

단계 1.2

$a$ = $8$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $3 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- (2 x))$

단계 2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}} x \ln (8)$

단계 3.2

$- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- (2 \cdot 8^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

단계 3.2.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (2 \cdot {(2^{3})}^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

단계 3.2.3

${(2^{3})}^{3 - x^{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- (2 \cdot 2^{3 (3 - x^{2})}) x \ln (8)$

단계 3.2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- (2 \cdot 2^{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

단계 3.2.3.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- (2 \cdot 2^{9 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

단계 3.2.3.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- (2 \cdot 2^{9 - 3 x^{2}}) x \ln (8)$

단계 3.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2^{1 + 9 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

단계 3.2.5

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

단계 3.3

$- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x \cdot 2^{10 - 3 x^{2}} \ln (8)$