미적분 예제

$y = \frac{x^{2}}{e^{x}}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{x} x - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.1.2

$2 e^{x} x - x^{2} e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x e^{x} - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

단계 4.3

$2 e^{x} x - e^{x} x^{2}$ 에서 $e^{x} x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.1

$2 e^{x} x$ 에서 $e^{x} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} x (2) - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

단계 4.3.2

$- e^{x} x^{2}$ 에서 $e^{x} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

단계 4.3.3

$e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)$ 에서 $e^{x} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

단계 4.4

$e^{x}$ 및 $e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

$e^{x} x (2 - x)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

단계 4.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{- x} x (2 - x)}{1}$

단계 4.4.2.4

$e^{- x} x (2 - x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- x} x (2 - x)$

단계 4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- x} x \cdot 2 + e^{- x} x (- x)$

단계 4.6

$e^{- x} x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (e^{- x} x) + e^{- x} x (- x)$

단계 4.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot (e^{- x} x) - e^{- x} x \cdot x$

단계 4.8

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 e^{- x} x - e^{- x} (x \cdot x)$

단계 4.8.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$

단계 4.9

$2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x}$