미적분 예제

$y = \ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 4 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $4 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 x - 1} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.7

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4 x - 1} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 2.8

$\frac{1}{4 x - 1}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \ln (x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{1}{x}$

단계 3.3

$- 3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{- 3}{x}$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{4 x - 1} - \frac{3}{x}$

단계 4

항을 묶습니다.

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단계 4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4}{4 x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x}$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

단계 4.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(4 x - 1) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.3.1

$\frac{4}{4 x - 1}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

단계 4.3.2

$\frac{3}{x}$ 에 $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

단계 4.3.3

$(4 x - 1) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x}{x (4 x - 1)} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x - 3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$